位移-時間圖
三個質點從坐標原點以相同的速度出發，由於分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關於時間的曲線。原公式分別為：
綠線:s(t)=t2+t，加速度 a 與初速同方向，時間越往後，每單位時間所進行的位移越大。
藍線:s(t)=t，加速度 a 為 0 ，任可時間其每單位時間的位移皆不變，即速度皆不變。
紅線:s(t)=-0.13*t2+t，加速度 a 與初速相反方向，加速度會逐漸抵消掉初速，直到速度為 0 ，然後加速度會使質點的運動回頭，時間越往後回頭的速度越快，每單位時間「負向」位移越大。
藍線的幾何圖形是直線，綠線和紅線的幾何圖形是拋物線。綠線的最高次項係數為正值，所以右側向上；紅線的最高次項係數為負值，所以右側向下。
定義
編輯
加入方向考慮之後，如何從一段運動軌跡得到加速度。
位移：物體位置的變化，包含零位移。
速度：物體在單位時間內的位移。即位移對時間的微分。速度包含大小和方向兩個元素。其中「大小」叫做「速率」。但速度與「位置」無關，等速運動中，不管位置在哪裡，其速度不變，都是同一個值，因為其大小和方向皆相同。
加速度：物體在單位時間內速度的變化。即速度對時間的微分。加速度也包含大小和方向兩個元素，也與位置無關。
右圖中綠線是運動的軌跡，藍線及箭頭(S1、S2、S3…)代表每單位時間位移的向量。由小圖中可以看到 v1=S1/Δt , v2=S2/Δt ，而加速度 a1=v2-v1/Δt 。
位移、速度與加速度是用來解釋微積分極好的工具，因為：
三者在微積分上階層簡明：位移的微分得到速度，速度的微分得到加速度；而加速度的積分得到速度變化量，速度的積分得到位移。
三者用多項式就能表達。
圓周運動
編輯
圖一:圓周運動切線速度與向心加速度示意圖
右圖紅色向量代表切線速度，不同瞬間，速率相等，速度不等(方向不同)。
藍色向量代表向心加速度，不同瞬間，加速度大小相等但方向不等。
注意，右圖中藍色向量的向心加速度標示過大，需要修改，真正的大小以圖二較為準確。
a,v,r 之間的大小關係
圖二:圓周運動 a,v,r 關係圖
a
=
v
2
−
v
1
Δ
t
=
Δ
v
Δ
t
{\displaystyle a={\frac {v_{2}-v_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {v}}{\Delta {t}}}}
，必須與
r
1
{\displaystyle r_{1}}
平行且是
r
1
{\displaystyle r_{1}}
順時鐘轉180度
v
=
r
2
−
r
1
Δ
t
=
Δ
r
Δ
t
{\displaystyle v={\frac {r_{2}-r_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}}
求出
a
=
v
2
r
{\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}
或
a
r
=
v
2
{\displaystyle ar=v^{2}}
證明：
圖二中右方與左方三角形相似
Δ
v
v
=
Δ
r
r
{\displaystyle {\frac {\Delta {v}}{v}}={\frac {\Delta {r}}{r}}}
=>
兩邊分母同乘
Δ
t
Δ
v
v
∗
Δ
t
=
Δ
r
r
∗
Δ
t
{\displaystyle \Delta {t}\quad {\frac {\Delta {v}}{v*\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{r*\Delta {t}}}}
=>
1
v
∗
Δ
v
Δ
t
=
1
r
∗
Δ
r
Δ
t
{\displaystyle {\frac {1}{v}}*{\frac {\Delta {v}}{\Delta {t}}}={\frac {1}{r}}*{\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}}
=>
1
v
∗
a
=
1
r
∗
v
{\displaystyle {\frac {1}{v}}*a={\frac {1}{r}}*v}
=>
a
=
v
2
r
{\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}
圓周運動的動力過程
有一個速度向量使運動軌跡直線前進
加上與其垂直的加速度向量，因為加速度與原速度方向垂直，所以無法增加或抵消原速度的大小，只能改變其方向
加速度將軌跡拉彎
反覆上述的過程將得到一個圓周運動的軌跡
速度相加
編輯
A 在月台，看 B 在列車上，站在 A 的觀點：列車及 B 以速度 u 對他進行等速相對運動； B 在車上射出一發子彈(或光束)，此子彈(或光束)對 B 的相對速度為 v ，則此子彈(或光束)對 A 的相對速度為
u
+
v
1
+
u
×
v
c
2
{\displaystyle {\frac {u+v}{1+{\frac {u\times v}{c^{2}}}}}}
或
u
+
v
1
+
u
c
×
v
c
{\displaystyle {\frac {u+v}{1+{\frac {u}{c}}\times {\frac {v}{c}}}}}
，此公式特性如下：
當 v 為 c 時，相加後的速度為 c 。也就是光束的速度不管從 A 或 B 的觀點來看都是 c 。
速度相加後永遠小於等於 c 。
當 u 、 v 都比 c 小很多時，相加後的速度趨近於 u+v 。
加速度與位移的關係
編輯
復習乘法公式
證明：
a
{\displaystyle a}
為常數，當位移-時間關係為
s
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}at^{2}}
時，速度為
a
t
{\displaystyle at}
(此時稱為等加速度運動)
s
{\displaystyle s}
代表不同時間物體的位置，和時間有以下關係：
s
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}at^{2}}
即
s
(
t
)
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle s(t)={\frac {1}{2}}at^{2}}
稍早時間
t
{\displaystyle t}
的位置為
s
1
=
1
2
a
t
2
{\displaystyle s_{1}={\frac {1}{2}}at^{2}}
稍晚時間
t
+
Δ
t
{\displaystyle t+\Delta t}
的位置為
s
2
=
1
2
a
(
t
+
Δ
t
)
2
{\displaystyle s_{2}={\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2}}
在經過很短時間
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
的位置改變為
Δ
s
=
s
2
−
s
1
{\displaystyle \Delta s=s_{2}-s_{1}}
v
=
Δ
s
Δ
t
=
s
2
−
s
1
Δ
t
=
1
2
a
(
t
+
Δ
t
)
2
−
1
2
a
t
2
Δ
t
=
1
2
a
(
t
2
+
2
t
Δ
t
+
Δ
t
2
)
−
1
2
a
t
2
Δ
t
{\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s_{2}-s_{1}}{\Delta t}}={\frac {{\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2}-{\frac {1}{2}}at^{2}}{\Delta t}}={\frac {{\frac {1}{2}}a(t^{2}+2t\Delta t+\Delta t^{2})-{\frac {1}{2}}at^{2}}{\Delta t}}}
=
1
2
a
(
2
t
Δ
t
+
Δ
t
2
)
Δ
t
=
a
t
Δ
t
+
1
2
a
(
Δ
t
)
2
Δ
t
=
a
t
Δ
t
Δ
t
+
1
2
a
(
Δ
t
)
(
Δ
t
)
Δ
t
=
a
t
+
1
2
a
Δ
t
{\displaystyle ={\frac {{\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+\Delta t^{2})}{\Delta t}}={\frac {at\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}}{\Delta t}}={\frac {at\Delta t}{\Delta t}}+{\frac {{\frac {1}{2}}a(\Delta t)(\Delta t)}{\Delta t}}=at+{\frac {1}{2}}a\Delta t}
∵
1
2
a
Δ
t
→
0
∴
v
=
a
t
{\displaystyle \because {\frac {1}{2}}a\Delta t\to 0\therefore v=at}
切線斜率、微分、導數
編輯
設
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
，則函式
f
{\displaystyle f}
在
a
{\displaystyle a}
點切線斜率、微分、導數、
f
′
(
a
)
{\displaystyle f'(a)}
、
d
y
d
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}
、
d
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}}
、(
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
)、
lim
Δ
x
→
0
f
(
a
+
Δ
x
)
−
f
(
a
)
Δ
x
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}
都代表同一個意思。